آموزش فصل سوم ریاضی هشتم

بیش تر بدانیم

انواع چندضلعی‏ها:

الف ) چندضلعی محدب

ب ) چندضلعی مقعر

چندضلعی محدب : به چندضلعی گفته می شود كه اندازه یهر زاویه ی آن از درجه كم تر باشد،

 مانند متوازی الاضلاع ،لوزی ، ذوزنقه و...

چندضلعی مقعر: به چندضلعی گفته می شود كه حداقل یكزاویه ی بزرگ تر از داشته باشد.

تعداد قطرهای چندضلعی محدب : تعداد قطرهای یكچندضلعی محدب كه تعداد اضلاع آن برابر است ، 

از رابطه یزیر به دست می‏آید:

مثال: تعداد قطرهای یك ضلعی محدب را به‏دست آورید.

پاسخ:

مساحت چندضلعی منتظم : برای محاسبه ی مساحتچندضلعی منتظم ، ابتدا مركز ضلعی را به رأس های آنوصل می كنیم 

تا مثلث مساوی در داخل چند ضلعی به ‏وجودآید. سپس ارتفاع یك مثلث را رسم می كنیم و مساحت آنمثلث را پیدا می كنیم .

 در نهایت این مقدار را در تعداد مثلثها ضرب می كنیم .

مثال: مساحت یك ضلعی منتظم را كه اندازه ی هر ضلع آنسانتی متر 

و فاصله‏ی مرکز تا ضلع آن سانتی متر استبه ‏دست آورید.

پاسخ:

 مساحت

چندضلعی های محاطی و محیطی:

چندضلعی محاطی : به چندضلعی گفته می شود كه همهی رئوس آن روی محیط یك دایره واقع باشند. 

دایره ای كه ازرأس های یك چندضلعی محاطی می گذرد، 

«دایره یمحیطی » نام دارد.

چندضلعی محیطی : به چندضلعی گفته می شود كه همهی اضلاع آن بر یك دایره مماس باشند. 

دایره ای كه اضلاع یكچندضلعی بر آن مماس است ، «دایره ی محاطی» نام دارد.

دایره ی محیطی مثلث : دایره ای است كه از سه رأس مثلثمی گذرد. مركز دایره ی محیطی هر مثلث ، 

نقطه ای استكه از سه رأس آن به یك فاصله باشد. 

نقطه ی تلاقیعمودمنصف های اضلاع مثلث این ویژگی را دارد كه ایننقطه در مثلث قائم الزاویه نقطه ی وسط وتر است .

دایره ی محاطی مثلث : دایره ای است كه بر سه ضلع مثلثمماس می باشد. 

مركز دایره ی محاطی هر مثلث محلبرخورد نیم سازهای زوایای آن مثلث است .

مثال: در شكل مقابل ثابت كنید .

پاسخ: 

نتیجه : 1ـ در هر چهار ضلعی محاطی ، زوایای مقابل مكملیكدیگرند.

2ـ اگر مثلث دارای سه زاویه تند باشد، مركز دایره ی محیطیآن ، داخل مثلث است .

3ـ در مثلث قائم الزاویه، نقطه ی وسط وتر مثلث ، مركز دایرهی محیطی آن است .

4ـ اگر مثلث دارای یك زاویه ی باز باشد، مركز دایره یمحیطی آن ، خارج مثلث است .

5 ـ مجموع زوایای داخلی ضلعی محدب برابر

است .

6 ـ مجموع زوایای خارجی هر چند ضلعی محدب است .

مطالبی در مورد چند ضلعی ها

چند ضلعی :هر خط شکسته بسته را چند ضلعی می نامند.مثلث یک چند ضلعی (سه ضلعی)است.

مطالبی در مورد چند ضلعی ها

چند ضلعی :هر خط شکسته بسته را چند ضلعی می نامند.مثلث یک چند ضلعی (سه ضلعی)است.
اگر یکی از زوایای داخلی چند ضلعی بزرگتر از 180درجه باشد چند ضلعی را مقعر و در غیر اینصورت چند ضلعی را محدب می نامند.
تعداد قطرهای هر nضلعی محدبn(n-3)/2  می باشد.

*مجموع زوایای یک n ضلعیn-2)*180  )می باشد.

در هر چند ضلعی منتظم با تعداد اضلاع فرد ،عمود منصف هر ضلع نیمساز زاویه ی مقابل به ان ضلع است که این عمود منصف  محور تقارن ان چند ضلعی است.

متوازی الاضلاع

چهار ضلعی است که هر دو ضلع ان موازی باشد . در متوازی الاضلاع فاصله ی هر دو ضلع مقابل به هم را ارتفاع می نامند.

ویژگی های متوازی الاضلاع

الف:در هر متوازی الضلاع فاضلاع مقابل با هم برابرند.
ب:در هر متوازی الاضلاع ،زاویه ای مقابل برابرند، و هر دو زاویه ی مجاور به یک ضلع مکمل یکدیگرند.همچنین مجموع دو زاویه مجاور برابر 180درجه است.
ج:در هر متوازی الا ضلاع قطر ها منصف یکدیگرند.
د:در هر متوازی الاضلاع نقطه تقاطع دو قطر مرکز تقارن ان شکل است.
ه:مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب قاعده در ارتفاع وارد بر آن است.
ز:در هر متوازی الاضلاع نیمساز های داخلی دو به دو بر هم عمودند.

لوزی

لوزی متوزی الاضلاعی است که چهار ضلع آن با هم برابر باشند بنابر این لوزی کلیه ی ویژگیهای متوازی الاضلاع را دارد.
مساحت لوزی برابرست با نصف حاصلضرب دو قطر

کایت یا شبه لوزی

چهار ضلعی محدبی است که دارای دو جفت اضلاع مجاور مساوی با دو اندازه ی مختلف می باشد. در واقع کایت چهار ضلعی محدبی است که دارای دو قطر عمود بر هم می باشد.یکی از قطرها عمود منصف دیگری باشد .قطری که منصف قطر دیگر است محور تقارن کایت و همچنین نیمساز دو زاویه مقابل است.مساحت کایت مانند مساحت لوزی محاسبه می شود.

مستطیل

مستطیل متوازی الاضلاعی است که یک زاویه ی آن قائمه باشد بنابراین مستطیل کلیه ی ویژگیهای متوازی الاضلاع را دارد.
خطی که وسط دو ضلع مقابل را به هم وصل میکند محور تقارن مستطیل است بنابراین مربع کلیه ویژگیهای متوازی الاضلاع و لوزی را دارد.

مربع

مربع مستطیلی است که چهار ضلع آن با هم مساوی باشد یا می توان گفت مربع لوزی است که یک زاویه ی ان قائمه باشد.بنابراین مربع کلیه ی ویژگیهای  متوازی الاضلاع ،مستطیل و لوزی را دارد.
*در هر مربع قطرها بر هم عمود و با هم برابر و هر کدام محور تقارن شکل هستند.
*مربع چهار محور تقارن دارد.
*مربع یک چهار ضلعی منتظم است و کلیه ویژگیهای چند ضلعی منتظم را داراست.
مساحت لوزی و مربع برابرست با مجذور یک ضلع

ذوزنقه

*هر چهار ضلعی که فقط دو ضلع آن با هم موازی باشند ذوزنقه نامیده می شود. دو ضلع موازی را قاعده ها  و دو ضلع غیر موازی را ساقها می نامند.اگر دو ساق ذوزنقه با هم مساوی باشند ذوزنقه را متساوی الساقین می نامند.آگر یکی از ساقها بر دو قاعده عمود باشد ذوزنقه را قائم الزاویه می نامند.
*در هر ذوزنقه دو زاویه مجاور بر هر ساق مکمل یکدیگرند.
*در هر ذوزنقه متساوی الساقین دو قطر و همچنین دو زاویه مجاور به هر قاعده با هم برابر هستند.
پاره خطی که دو سر آنوسط های دو ساق ذوزنقه باشد موازی دو قاعده ان ذوزنقه و اندازه ی آن برابر نصف مجموع  اندازه های دو قاعده ی ذوزنقه است.